\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
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\fancyfoot[L]{Lycée Jay de Beaufort, Périgueux}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[R]{Année scolaire 2022/2023}
\fancyhead[R]{Spécialité Maths de Première Générale }
\fancyhead[L]{Chapitre 8 - Suites de références}
\begin{document}
\begin{center}\begin{LARGE}{\textcolor{blue}{C8. Activités de recherche} }\end{LARGE}\end{center}
\setlength\parindent{0mm}
\subsection*{\textcolor{blue}{Activité 1. Vers la démonstration par récurrence}}
\begin{enumerate}
\item Calculer $1+2+3$ puis $\dfrac{3+4}{2}$. Que remarquez vous ?
\item Calculer $1+2+3+4$ puis $\dfrac{4+5}{2}$. Que remarquez vous ?
\item Calculer $1+2+3+4+5$ puis $\dfrac{5+6}{2}$. Que remarquez vous ?
\item \textbf{Conjecturer} la valeur de la somme $S=1+2+3+\dots+500$
\item \textbf{Conjecturer} une autre expression de la somme : $S_n=1+2+\dots +n$
\item (Uniquement pour les élèves qui poursuivent la spécialité) Vers la \textbf{"démonstration par récurrence"}
\begin{enumerate}
\item On note $P_n$ la propriété "$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$", où $n$ désigne un entier naturel.\\
\textbf{L'objectif} est de démontrer que la propriété $P_n$ \textbf{est vraie pour tout entier naturel} $n$
\item Au rang $n=0$, le membre de gauche de l'égalité est égal à : \pointille[0.5cm]\\
Le membre de droite est égal à : \pointille[0.5cm]\\
L'égalité est \pointille[1cm] ; on dit que $P_0$ est vraie.
\item On suppose que la propriété est vraie à un certain rang $n$. on montre alors qu'elle est vraie également au rang suivant, c'est à dire au rang \pointille[1cm].\\[0.3cm]
Au rang $n+1$ le membre de gauche s'écrit : \pointille[10cm] \\[0.3cm]
En remplaçant les $n$ premiers termes de la somme par l'"hypothèse de récurrence" (i.e la propriété supposée vraie au rang $n$), il vient : $1+2+\dots+n+(n+1)=\pointille[2cm]$ \\[0.3cm]
On réduit au même dénominateur l'expression obtenue, vous devez alors obtenir par transformation algébrique : \\[0.1cm]
\hspace*{5cm} $1+2+\dots+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ \\[0.1cm]
Ce qui signifie que notre propriété est vraie au rang \pointille[1cm]
\item \textbf{Conclusion :}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La propriété $P_n$ est vraie au rang $n=0$
\item[$\bullet$] Si $P_n$ est vraie à un certain rang $n$, alors elle est vraie au rang suivant $(n+1)$. On dit que $P_n$ est héréditaire.
\item[$\bullet$] On peut dire que pour tout entier naturel $n$ , $P_n$ est vraie.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\hspace*{5cm}\fbox{Pour tout entier naturel $n$, $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$}
\item \textbf{Application : }\\
\begin{minipage}{10cm}
Le prince demande à Sissou de commencer par déposer un grain de riz sur la première case, puis 3 grains sur la deuxième case, puis 5 grains sur la troisième et ainsi de suite pour remplir l'échiquier représenté ci-contre.\\
Déterminer le nombre de grains de riz que Sissou doit aller chercher à l'économat pour compléter l'échiquier.
\end{minipage} \hspace{1cm}
\begin{minipage}{5cm}%\includegraphics[scale=0.6]{echiquier}
\end{minipage}\\[0.2cm]
\textbf{Aide : }On peut Montrer que sur la $n-ième$ case, il y a : $2n+1$ grains et que sur les $n$ premières cases, il y a : $n+2(1+2+3+\dots+n)$ grains.
\end{enumerate}
\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Activité 2. Vers les combinaisons}}
\begin{minipage}{2cm}
Ligne $n=0$\\[0.3cm]
Ligne $n=1$\\[0.3cm]
Ligne $n=2$\\[0.3cm]
Ligne $n=3$\\[0.3cm]
Ligne $n=4$\\[0.3cm]
Ligne $n=5$\\[0.3cm]
Ligne $n=6$\\[0.3cm]
Ligne $n=7$
\end{minipage}
\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{16cm}
\PyramideNombre[Etages=8,Largeur=1.5cm,Hauteur=8mm,Couleur=LightSteelBlue]{%
1,7,21,35,35,21,7,1,%
~,~,~,~,~,~,~,%
~,~,~,~,~,~,%
1,4,*6,4,1,%
1,3,3,1,%
1,2,1,%
1,1,%
1%
}
\end{minipage}\\
\textbf{Notation :} La première valeur de chaque ligne est de rang $p=0$.\\
La case colorée contenant la valeur 6 est la valeur de rang $p=2$ de la ligne $n=4$. On note que : $\left( \begin{matrix}
4 \\
2 \\
\end{matrix}\right) = 6$ , On lit " 2 parmi 4" égal 6)
\begin{enumerate}
\item Observer la pyramide et essayer de compléter les 2 lignes vides.
\item Si vous avez réussi à compléter entièrement les deux lignes et que votre démarche est cohérente avec la dernière ligne, passez à la question 4. \\
Sinon, passez à la question 3.
\item Relire la notation, en dessous de la pyramide puis :
\begin{enumerate}
\item Entourer dans la pyramide la valeur de $\left( \begin{matrix}
2 \\
0 \\
\end{matrix}\right) $ et celle de $ \left( \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix}\right) $, additionner ces 2 valeurs et
comparer le résultat
avec $\left( \begin{matrix}
3 \\
1 \\
\end{matrix}\right).$
\item Calculer : $\left( \begin{matrix}
3 \\
1 \\
\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix}
3 \\
2 \\
\end{matrix}\right) $,
puis comparer votre réponse avec $\left( \begin{matrix}
4 \\
2 \\
\end{matrix}\right).$
\item On admet que $\left( \begin{matrix}
5 \\
3 \\
\end{matrix}\right) = 10$. En utilisant l'ensemble de la question 3. compléter les lignes $n=5$ et $n=6$
\end{enumerate}
\item Écrire le maximum de propriétés que vous trouvez dans la pyramide. Penser à utiliser la notation $\left( \begin{matrix}
n \\
p \\
\end{matrix}\right)$ lorsque cela vous semble plus adapté.
\item Développer $(x+1)^2$
\item En utilisant $(x+1)^3=(x+1)(x+1)^2$ développer $(x+1)^3$.
\item Développer $(x+1)^4$.
\item En observant les développements et la pyramide, sans aucun calcul, imaginer la forme développée de $(x+1)^5$ puis de $(x+1)^7.$
\end{enumerate}
\end{document}