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\author{Pierquet}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\begin{center}
\textsf{\LARGE \lieu{}, \serie{}, \jour{} \mois{} \annee}
\end{center}
\begin{center}
\textsf{\faDice\:\:{\large Épreuve UF2 - Mathématiques Approfondies}\:\:\faChartLine}
\end{center}
\vspace{0.25cm}
\textbf{\textsf{\Large Exercice 1\dotfill(10 points)}}%exo1
\medskip
Un magasin vend des téléphones portables et souhaite proposer à ses acheteurs de souscrire un contrat d'assurance.
\medskip
\textbf{Partie A : Étude de marché}
\medskip
Avant la date de mettre en place son assurance, le magasin a commandé une étude permettant d'observer les habitudes d'un échantillon représentatif d'acheteurs. Elle a obtenu les informations suivantes :
\begin{itemize}
\item 78\,\% des acheteurs de l'échantillon ont moins de 30 ans ;
\item parmi les acheteurs de moins de 30 ans, 4\,\% souscrivent un contrat d'assurance ;
\item 14\,\% des acheteurs qui ont 30 ans ou plus souscrivent un contrat d'assurance.
\end{itemize}
On choisit un acheteur au hasard dans cet échantillon.
On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[] $T$: « l'acheteur a moins de 30 ans » ;
\item[] $A$ : « l'acheteur souscrit un contrat d'assurance ».
\end{itemize}
On rappelle que, quel que soit l'événement E, on note $\overline{E}$ son événement contraire.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
\begin{Centrage}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$T$/\numdots/,$A$/\numdots/,$\overline{A}$/\numdots/,$\overline{T}$/\numdots/,$A$/\numdots/,$\overline{A}$/\numdots/}
\end{Centrage}
\item Calculer la probabilité que l'acheteur ait moins de 30 ans et souscrive un contrat d'assurance.
\item Montrer que la probabilité que l'acheteur souscrive un contrat d'assurance est égale à \num{0,062}.
\item Sachant qu'un acheteur a souscrit un contrat d'assurance, quelle est la probabilité qu'il ait moins de 30 ans? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie A : Étude après commercialisation}
\medskip
Pour la première phase de commercialisation de son contrat d'assurance, le magasin a vendu 100 téléphones.
On considère que cette phase de commercialisation revient à effectuer un prélèvement de 100 acheteurs avec remise parmi un très grand nombre d'acheteurs. On suppose que l'échantillon de la partie A était représentatif, c'est-à-dire que la probabilité qu'un acheteur
de téléphone prélevé au hasard souscrive un contrat d'assurance est égale à \num{0,062}.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 100 acheteurs, associe le nombre d'acheteurs qui ont souscrit un contrat d'assurance.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = \num{0,062}$.
\item Calculer la probabilité qu’exactement 7 acheteurs souscrivent un contrat d’assurance. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
\item Pour chaque téléphone vendu, le magasin reçoit une prime de \num{7,50} euros si l'acheteur souscrit un contrat d'assurance.
En moyenne, quel est le montant total des primes que percevra le magasin ?
\end{enumerate}
\item Pour approfondir son étude, la société décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = \num{6,2}$. On note $Y$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.
\begin{enumerate}
\item Justifier le choix de $\lambda = \num{6,2}$.
\item Calculer $P(Y \geqslant 5)$, puis interpréter ce résultat. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Calculer la probabilité qu'au moins un acheteur souscrive un contrat d'assurance.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{5mm}
\textbf{\textsf{\Large Exercice 2\dotfill(10 points)}}%exo2
\medskip
Une société conçoit et commercialise un jeu vidéo d'aventure.
\medskip
\textbf{Partie A : Gain de niveau et points d'expérience -- étude statistique}
\medskip
Ce jeu est constitué de plusieurs niveaux. Un joueur débute au niveau 1 et peut passer au niveau supérieur en gagnant des points d'expérience.
Pour tout entier naturel $n$, non nul, on note $x_n$ le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$.
Le tableau ci-dessous indique, pour quelques niveaux, le nombre de points d'expérience
nécessaires (en milliers) pour passer au niveau suivant :
\begin{Centrage}
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.975\linewidth,colspec={Q[10cm,m]*{5}{X[m,c]}}}
Niveau $n$ & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
Nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$ & 220 & 256 & 283 & 304 & 321 \\
\end{tblr}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\big(n; x_n\big)$.
Arrondir le résultat au centième.
\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de
$x_n$ en $n$, sous la forme $x_n = an + b$.
\item À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment, estimer le
nombre de points d'expérience nécessaires pour passer du niveau 20 au niveau 21.
Arrondir le résultat à 1 près.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B : Gain de niveau et points d'expérience -- étude de fonction}
\medskip
La société n'est pas satisfaite de la valeur de $r$ trouvée en partie A, qu'elle estime trop éloignée de 1. Elle choisit une autre méthode.
\smallskip
Pour cela, elle considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFF{1}{100}$ par $f(x) = 100\,\ln(2x + 5)$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, non nul, $f(n)$ modélise le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{1}{100}$, $f'(x) =\dfrac{200}{2x+5}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\IntervalleFF{1}{100}$. On arrondira la valeur des images à l'unité.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\IntervalleFF{1}{100}$, l'équation $f(x) = 500$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 1 près.
\item En déduire le premier niveau à partir duquel au moins \num{500000} points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie C : Étude des gains d'Ether}
\medskip
La monnaie du jeu s'appelle l'\underline{Ether} (symbolisé par E). Un joueur débute avec une somme de \num{50000} E. Les règles sont telles que chaque nouvelle heure supplémentaire jouée
augmente la somme détenue par le joueur de 2\,\%.
\smallskip
Pour tout entier naturel, un modélise la somme détenue par le joueur après avoir joué $n$ heures.
Ainsi on a $u_0 = \num{50000}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Vérifier que $u_2 = \num{52020}$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Déterminer la nature de la suite $\Suite{u}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire, à l'unité près, la somme détenue après avoir joué 7 heures.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\setcounter{page}{1}
%-----CORRECTION-----%
\begin{center}
\textsf{\LARGE \lieu{}, \serie{}, \jour{} \mois{} \annee}
\end{center}
\begin{center}
\textsf{\faDice\:\:{\large Épreuve UF2 - Mathématiques Approfondies}\:\:\faChartLine}
\end{center}
\vspace{0.25cm}
\textbf{\textsf{\Large Exercice 1\dotfill(10 points)}}%exo1c
\medskip
\textbf{Partie A : Étude de marché}
\begin{enumerate}
\item On obtient (d'après les données de l'énoncé) l'arbre suivant :
\begin{Centrage}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$T$/\num{0.78}/,$A$/\num{0.04}/,$\overline{A}$/\num{0.96}/,$\overline{T}$/\num{0.22}/,$A$/\num{0.14}/,$\overline{A}$/\num{0.86}/}
\end{Centrage}
\item D'après la formule des probabilités composées, $P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A) = \num{0.78}\times\num{0.04}=\num{\xintfloateval{0.78*0.04}}$.
Ainsi, la probabilité que l'acheteur ait moins de 30 ans et souscrive un contrat d'assurance est de \num{\xintfloateval{0.78*0.04}}.
\item On cherche $P(A)$, et d'après la formule des probabilités totales :
$P(A)=P(T \cap A)+P\big(\overline{T} \cap A\big)=\num{\xintfloateval{0.78*0.04}}+\num{0.22}\times\num{0.14}=\num{\xintfloateval{0.78*0.04+0.22*0.14}}$.
\item On cherche $P_A(T)$, et d'après la formule des probabilités conditionnelles :
$P_A(T)=\dfrac{P(T \cap A)}{P(A)}=\dfrac{\num{\xintfloateval{0.78*0.04}}}{\num{\xintfloateval{0.78*0.04+0.22*0.14}}} \approx \Arrondi[3]{(0.78*0.04)/(0.78*0.04+0.22*0.14)}$.
Ainsi, sachant qu'un acheteur a souscrit un contrat d'assurance, la probabilité qu'il ait moins de 30 ans est d'environ \Arrondi[3]{(0.78*0.04)/(0.78*0.04+0.22*0.14)} (au millième).
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie A : Étude après commercialisation}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On répète, de manière indépendante (\og très grand nombre d'acheteurs \fg), la même expérience à deux issues (de succès l'évènement $A$, de probabilité \num{0.062}). On est donc face à un schéma de Bernoulli de paramètres $n=100$ et $p=\num{0.062}$. De plus, $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = \num{0,062}$.
\item On a $P(X=7) \approx \BinomP[3]{100}{0.062}{7}$ au millième.
Ainsi la probabilité qu’exactement 7 acheteurs souscrivent un contrat d’assurance est d'environ \BinomP[3]{100}{0.062}{7} (au millième).
\item On a $\Esper{X}=n\times p = 100 \times \num{0.062} = \num{\xintfloateval{100*0.062}}$.
\item Pour chaque téléphone vendu, le magasin reçoit une prime de \num{7,50} euros si l'acheteur souscrit un contrat d'assurance.
En moyenne, le montant total des primes que percevra le magasin est de $\num{7.50}\times \num{6.2} = \num{\xintfloateval{7.5*6.2}}$ euros.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On sait que, dans le cas où une loi binomiale est approchée par une loi de Poisson, que $\lambda=n\times p$ (conservation de l'espérance).
Ainsi on a bien $\lambda = \num{6,2}$.
\item On a $P(Y \geqslant 5) = 1 - P(Y \leqslant 4) \approx \PoissonC[3]{6.2}{5}{*}$ (au millième).
\item On a $P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y =0) \approx \PoissonC[3]{6.2}{1}{*}$ (au millième).
Ainsi la probabilité qu'au moins un acheteur souscrive un contrat d'assurance est d'environ \PoissonC[3]{6.2}{1}{*} (au millième).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\textbf{\textsf{\Large Exercice 2\dotfill(10 points)}}%exo2c
\def\LLX{2,4,6,8,10}\def\LLY{220,256,283,304,321}\CalculsRegLin{\LLX}{\LLY}
\medskip
\textbf{Partie A : Gain de niveau et points d'expérience -- étude statistique}
\begin{enumerate}
\item La calculatrice nous donne $r \approx \Arrondi[2]{\COEFFr}$ au centième.
\item La calculatrice nous donne $\begin{dcases} a = \num{\COEFFa} \\ b = \num{\COEFFb} \end{dcases}$.
Ainsi une équation de la droite de régression de $x_n$ en $n$ est $x_n = \num{\COEFFa}n + \num{\COEFFb}$.
\item Passer du niveau 20 au niveau 21 correspond à $n=20$. Et $x_{20} = \num{\COEFFa} \times 20 + \num{\COEFFb} = \num{\xintfloateval{\COEFFa*20+\COEFFb}}$.
Ainsi, pour passer du niveau 20 au niveau 21, il faut \num{\xintfloateval{1000*(\COEFFa*20+\COEFFb)}} points d'expérience.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B : Gain de niveau et points d'expérience -- étude de fonction}
\begin{enumerate}
\item Par produit et composées de fonctions dérivables, la fonction $f$ est dérivable sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
Et $f'(x)=100 \times \dfrac{(2x+5)'}{2x+5}=100\times \dfrac{2}{2x+5} = \dfrac{200}{2x+5}$ pour tout réel $x$ de $\IntervalleFF{1}{100}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Sur $\IntervalleFF{1}{100}$, $2x+5>0$, donc par quotient, $f(x) > 0$ sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
Ainsi on en déduit que $f$ est strictement croissante sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
\item On obtient le tableau de variations :
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$100$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$\Arrondi[0]{100*log(2*1+5)}$,+/$\Arrondi[0]{100*log(2*100+5)}$}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 500 \Leftrightarrow 100\,\ln(2x+5)=500 \Leftrightarrow \ln(2x+5)=5 \Leftrightarrow 2x+5=\e^{5} \Leftrightarrow 2x = \e^{5}-5 \Leftrightarrow x = \dfrac{\e^{5}-5}{2} \approx \Arrondi[0]{(exp(5)-5)/2}$.
\item D'après la question précédente, on en déduit qu'à partir du niveau \Arrondi[0]{(exp(5)-5)/2}, au moins \num{500000} points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie C : Étude des gains d'Ether}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Augmenter de 2\,\% revient à multiplier par \num{1.02}.
On a donc $u_1 = \num{50000} \times \num{1.02} = \num{\xintfloateval{50000*1.02}}$.
\item On a $u_2 = \num{\xintfloateval{50000*1.02}} \times \num{1.02} = \num{\xintfloateval{50000*1.02^2}}$.
Ainsi, au bout de 2 heures, la somme détenue par le joueur est de \num{52020}~E.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item De même que précédemment, on peut écrire $u_{n+1}=u_n \times \num{1.02}$ pour tout entier naturel $n$.
\item On en déduit que la suite $\Suite{u}$ est géométrique de raison $q=\num{1.02}$ et de premier terme $u_0=\num{50000}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Sachant que $\Suite{u}$ est géométrique, on a $u_n=u_0\times q^n = \num{50000} \times \num{1.02}^n$ pour tout entier $n$.
\item On a $u_7 = \num{50000} \times \num{1.02}^7 \approx \Arrondi[0]{50000*1.02^7}$ (à l'unité).
Ainsi, la somme détenue après avoir joué 7 heures est d'environ \Arrondi[0]{50000*1.02^7}~E.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}